Logaritma dan sifat-sifatnya

Halo, Kali ini saya akan membahas tentang logaritma dan sifat-sifatnya.

Untuk memahami sifat-sifat logaritma, cara pembuktian sifat atau rumus logaritma serta contoh soal yang berkaitan dengan sifat-sifat operasi hitung logaritma, silahkan kalian pelajari uraian artikel berikut ini.

Bentuk Umum Logaritma

ax = b

↔

x = alog b

Dengan  syarat b > 0, a > 0 dan a ≠ 1

Keterangan:

a	=	bilangan pokok atau basis logaritma
b	=	numerus, yaitu bilangan yang akan dicari nilai logaritmanya
x	=	hasil logaritma, dapat positif, nol atau bahkan negatif.

Rumus Identitas Logaritma

1	alog an	= n
2	alog a	= 1
3	alog 1	= 0

Pembuktian ketiga rumus identitas logaritma di atas adalah sebagai berikut

1	alog an = n → an = an
2	alog a = 1 → a1 = a
3	alog 1 = 0 → a0 = 1

Macam-Macam Sifat Logaritma dan Rumusnya

#Sifat 1 (Perkalian Logaritma)

alog (b × c) = alog b + alog c

Pembuktian sifat 1 logaritma

Misalkan

alog b = n maka an = b

alog c = m maka am = c

b × c = an × am

dengan menggunakan sifat operasi hitung berpangkat,  maka diperoleh

b × c = an + m sehingga

alog (b × c) = n + m, karena n = alog b dan m = alog c maka

alog (b × c) = alog b + alog c

Contoh Soal

Sederhanakanlah:

1. 2log 4 + 2log 8
2. 5log ½ + 5log 50

Jawab

1. 2log 4 + 2log 8 = 2log (4 × 8) = 2log 32 = 5
2. 5log ½ + 5log 50 = 5log (½ × 50) = 5log 25 = 2

#Sifat 2 (Pembagian Logaritma)

alog (b/c) = alog b − alog c

Pembuktian sifat 2 logaritma

Misalkan

alog b = n maka an = b

alog c = m maka am = c

b/c = an /am

dengan menggunakan sifat operasi hitung bilangan berpangkat diperoleh

b/c = an − m sehingga

alog (b/c) = n − m, karena n = alog b dan m = alog c maka

alog (b/c) = alog b − alog c

Contoh Soal

Sederhanakanlah:

1. 7log 217 − 7log 31
2. log 0,05 − log 5

Jawab

1. 7log 217 − 7log 31 = 7log (217/31) = 7log 7 = 1
2. log 0,05 − log 5 = log (0,05/5) = log 0,01 = −2

#Sifat 3 (Perpangkatan Logaritma)

alog bn = n × alog b

Pembuktian sifat 3 logaritma

Dari sifat 1 logaritma,

alog b + alog b = alog (b × b)

2 alog b = alog b2

Dengan cara yang sama:

alog b2 + alog b = alog (b2 × b)

2 alog b + alog b = alog b3

3 alog b = alog b3

Dengan cara yang sama:

alog b3 + alog b = alog (b3 × b)

3 alog b + alog b = alog b4

4 alog b = alog b4

Dengan demikian dapat disimpulkan:

n alog b = alog bn

atau

alog bn = n × alog b

Contoh Soal

Sederhanakanlah:

1. 2 log 25 – 3 log 5 + log 20
2. ½ 2log 82 – 3 2log 3 + 2log 48

Jawab

1. 2 log 25 – 3 log 5 + log 20

= log 252 – log 53 + log 20

= log (252/53) + log 20

= log 5 + log 20

= log (5 × 20)

= log 100 = 2

2. ½ 2log 82 – 3 2log 3 + 2log 48

= 2log 82½ – 2log 33 + 2log 48

= 2log (9/27) + 2log 48

= 2log 1/3 + 2log 48

= 2log (1/3 × 48)

= 2log 16 = 4

#Sifat 4 (Pengubahan Bilangan Pokok Logaritma 1)

alog b	=	nlog b
		nlog a

Pembuktian sifat 4 logaritma

Misalkan

alog b = m maka b = am

nlog b = nlog am

nlog b = m × nlog a

m = nlog b/ nlog a

alog b = nlog b/ nlog a

Contoh Soal

Jika 2log 3 = a, nyatakan bentuk logaritma 8log 3 ke dalam a.

Jawab

8log 3 = log 3/log 8

8log 3 = log 3/log 23

8log 3 = 1/3 × (log 3/log 2)

8log 3 = 1/3 × 2log 3

8log 3 = 1/3 a

#Sifat 5 (Pengubahan Bilangan Pokok Logaritma 2)

alog b	=	1
		blog a

Pembuktian sifat 5 logaritma

Sifat logaritma yang ke-5 ini adalah sifat logaritma ke-4 dengan n = b.

alog b = nlog b/nlog a

alog b = blog b/ blog a

alog b = 1/ blog a

Contoh Soal

Tentukan nilai dari 2log 8 dan 64log 4

Jawab

2log 8 = 1/8log 2

2log 8 = 1/8log 81/3

2log 8 = 1/(1/3)

2log 8 = 3

64log 4 = 1/4log 64

64log 4 = 1/4log 43

64log 4 = 1/3

#Sifat 6 (Perluasan Sifat Perkalian Logaritma)

alog b × blog c = alog c

Pembuktian sifat 6 logaritma

Dengan menggunakan sifat logaritma nomor 4 di atas maka:

alog b = nlog b/nlog a

blog c = nlog c/nlog b

sehingga

alog b × blog c = (nlog b/nlog a) × (nlog c/nlog b)

alog b × blog c = nlog c/ nlog a

alog b × blog c = alog c

Contoh Soal

Hitunglah nilai logaritma dari

1. 2log 5 × 5log 64
2. 2log 25 × 5log 3 × 3log 32

Jawab

1. 2log 5 × 5log 64 = 2log 64 = 2log 26 = 6
2. 2log 25 × 5log 3 × 9log 32

= 2log 52 × 5log 3 × 3log 25

= 2 2log 5 × 5log 3 × 5 3log 2

= 2 × 5 × 2log 5 × 5log 3 × 3log 2

= 10 × 2log 2

= 10 × 1

= 10

#Sifat 7 (Perluasan Sifat Perpangkatan Logaritma 1)

anlog bm	=	m	× alog b
		n

Pembuktian sifat 7 logaritma

Misalkan

^anlog b^m = c maka (aⁿ)^c = bm

(an)c = bm

an×c = bm

b = m√(anc)

b = anc/m (bentuk pangkat ini kita ubah menjadi bentuk logaritma)

alog b = nc/m (ruas kanan dan kiri dikalikan m/n)

m/n × ^alog b = c

m/n × ^alog b = ^anlog b^m

Contoh Soal

Hitunglah nilai logaritma dari

a) ²²log 4³

b) ²⁴log √32

Jawab

a) ²²log 4³ = 3/2 × log 4 = 3/2(2) = 3

b) ²⁴log √32 = ²⁴log 32^½ = 1/8 × ²log 32 = 1/8 (5) = 5/8

#Sifat 8 (Perluasan Sifat Perpangkatan Logaritma 2)

anlog bn = alog b

Pembuktian sifat 8 logaritma

Dengan menggunakan sifat 7 logaritma, sifat 8 ini sudah terbukti dengan jelas jadi tidak perlu di uraikan pembuktiannya.

Contoh Soal

Jika 2log 3 = a, nyatakan logaritma 8log 27 ke dalam bentuk a

Jawab

⁸log 27 = ²³log 3³ = ²log 3 = a

#Sifat 9 (Perluasan dari Bentuk Umum Logaritma)

aalog b = b

Pembuktian sifat 9 logaritma

Misalkan ^alog b = c maka a^c = b, sehingga

a^{alog b} = a^c = b

a^{alog b} = b

Contoh Soal

Sederhanakanlah

a) 2^{2log 5}

b) 3^{3log 4}

c) 5^{5log 10}

d) 7^{7log 25}

Jawab

a) 2^{2log 5} = 5

b) 3^{3log 4} = 4

c) 5^{5log 10} = 10

d) 7^{7log 25} = 25

#Sifat 10 (Invers Pembagian Logaritma)

alog (b/c) = − alog (c/b)

Pembuktian sifat 10 logaritma

Sifat 10 logaritma dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat 2 logaritma, pembuktiannya adalah sebagai berikut:

alog (b/c) = alog b − alog c

alog (b/c) = − (alog c − alog b)

alog (b/c) = − {alog (c/b)}

alog (b/c) = − alog (c/b)

Contoh Soal

Tentukan nilai logaritma dari

1. 2log (4/2)
2. 4log (32/2) 

Jawab

1. 2log (4/2) = −2log (2/4)  = − 2log ½  = − 2log 2−1 = − (−1) 2log 2 = 1
2. 4log (32/2) = −4log (2/32) = − 4log (1/16) = −4log 4-2 = − (−2) 4log 4 = 2