Logaritma dan sifat-sifatnya

Halo, Kali ini saya akan membahas tentang logaritma dan sifat-sifatnya.


kumpulan rumus lengkap logaritma, sifat-sifat logaritma, operasi hitung logaritma, sifat penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan logaritma matematika
Untuk memahami sifat-sifat logaritma, cara pembuktian sifat atau rumus logaritma serta contoh soal yang berkaitan dengan sifat-sifat operasi hitung logaritma, silahkan kalian pelajari uraian artikel berikut ini.

Bentuk Umum Logaritma
ax = b
x = alog b
Dengan  syarat b > 0, a > 0 dan a  1
Keterangan:
a
=
bilangan pokok atau basis logaritma
b
=
numerus, yaitu bilangan yang akan dicari nilai logaritmanya
x
=
hasil logaritma, dapat positif, nol atau bahkan negatif.

Rumus Identitas Logaritma
1
alog an
= n
2
alog a
= 1
3
alog 1
= 0

Pembuktian ketiga rumus identitas logaritma di atas adalah sebagai berikut
1
alog an = n  an = an
2
alog a = 1  a1 = a
3
alog 1 = 0  a0 = 1

Macam-Macam Sifat Logaritma dan Rumusnya
#Sifat 1 (Perkalian Logaritma)
alog (b × c) = alog b + alog c

Pembuktian sifat 1 logaritma
Misalkan
alog b = n maka an = b
alog c = m maka am = c
b × c = an × am
dengan menggunakan sifat operasi hitung berpangkat,  maka diperoleh
b × c = an + m sehingga
alog (b × c) = n + m, karena n = alog b dan m = alog c maka
alog (b × c) = alog b + alog c

Contoh Soal
Sederhanakanlah:
  1. 2log 4 + 2log 8
  2. 5log ½ + 5log 50
Jawab
  1. 2log 4 + 2log 8 = 2log (4 × 8) = 2log 32 = 5
  2. 5log ½ + 5log 50 = 5log (½ × 50) = 5log 25 = 2

#Sifat 2 (Pembagian Logaritma)
alog (b/c) = alog b  alog c

Pembuktian sifat 2 logaritma
Misalkan
alog b = n maka an = b
alog c = m maka am = c
b/c = an /am
dengan menggunakan sifat operasi hitung bilangan berpangkat diperoleh
b/c = an  m sehingga
alog (b/c) = n  m, karena n = alog b dan m = alog c maka
alog (b/c) = alog b  alog c

Contoh Soal
Sederhanakanlah:
  1. 7log 217  7log 31
  2. log 0,05  log 5
Jawab
  1. 7log 217  7log 31 = 7log (217/31) = 7log 7 = 1
  2. log 0,05  log 5 = log (0,05/5) = log 0,01 = 2

#Sifat 3 (Perpangkatan Logaritma)
alog bn = n × alog b

Pembuktian sifat 3 logaritma
Dari sifat 1 logaritma,
alog b + alog b = alog (b × b)
2 alog b = alog b2

Dengan cara yang sama:
alog b2 + alog b = alog (b2 × b)
2 alog b + alog b = alog b3
3 alog b = alog b3

Dengan cara yang sama:
alog b3 + alog b = alog (b3 × b)
3 alog b + alog b = alog b4
4 alog b = alog b4

Dengan demikian dapat disimpulkan:
n alog b = alog bn
atau
alog bn = n × alog b

Contoh Soal
Sederhanakanlah:
  1. 2 log 25  3 log 5 + log 20
  2. ½ 2log 82  3 2log 3 + 2log 48
Jawab
  1. 2 log 25  3 log 5 + log 20
= log 252  log 53 + log 20
= log (252/53) + log 20
= log 5 + log 20
= log (5 × 20)
= log 100 = 2
  1. ½ 2log 82  3 2log 3 + 2log 48
= 2log 82½  2log 33 + 2log 48
= 2log (9/27) + 2log 48
= 2log 1/3 + 2log 48
= 2log (1/3 × 48)
= 2log 16 = 4

#Sifat 4 (Pengubahan Bilangan Pokok Logaritma 1)
alog b
=
nlog b

nlog a


Pembuktian sifat 4 logaritma

Misalkan
alog b = m maka b = am
nlog b = nlog am
nlog b = m × nlog a
m = nlog b/ nlog a
alog b = nlog b/ nlog a

Contoh Soal
Jika 2log 3 = a, nyatakan bentuk logaritma 8log 3 ke dalam a.
Jawab
8log 3 = log 3/log 8
8log 3 = log 3/log 23
8log 3 = 1/3 × (log 3/log 2)
8log 3 = 1/3 × 2log 3
8log 3 = 1/3 a

#Sifat 5 (Pengubahan Bilangan Pokok Logaritma 2)
alog b
=
1

blog a


Pembuktian sifat 5 logaritma
Sifat logaritma yang ke-5 ini adalah sifat logaritma ke-4 dengan n = b.
alog b = nlog b/nlog a
alog b = blog b/ blog a
alog b = 1/ blog a

Contoh Soal
Tentukan nilai dari 2log 8 dan 64log 4
Jawab
2log 8 = 1/8log 2
2log 8 = 1/8log 81/3
2log 8 = 1/(1/3)
2log 8 = 3

64log 4 = 1/4log 64
64log 4 = 1/4log 43
64log 4 = 1/3

#Sifat 6 (Perluasan Sifat Perkalian Logaritma)
alog b × blog c = alog c

Pembuktian sifat 6 logaritma
Dengan menggunakan sifat logaritma nomor 4 di atas maka:
alog b = nlog b/nlog a
blog c = nlog c/nlog b
sehingga
alog b × blog c = (nlog b/nlog a) × (nlog c/nlog b)
alog b × blog c = nlog c/ nlog a
alog b × blog c = alog c

Contoh Soal
Hitunglah nilai logaritma dari
  1. 2log 5 × 5log 64
  2. 2log 25 × 5log 3 × 3log 32
Jawab
  1. 2log 5 × 5log 64 = 2log 64 = 2log 26 = 6
  2. 2log 25 × 5log 3 × 9log 32
= 2log 52 × 5log 3 × 3log 25
= 2 2log 5 × 5log 3 × 5 3log 2
= 2 × 5 × 2log 5 × 5log 3 × 3log 2
= 10 × 2log 2
= 10 × 1
= 10

#Sifat 7 (Perluasan Sifat Perpangkatan Logaritma 1)
anlog bm
=
m
× alog b
n

Pembuktian sifat 7 logaritma
Misalkan
anlog bm = c maka (an)c = bm
(an)c = bm
an×c = bm
b = m(anc)
b = anc/m (bentuk pangkat ini kita ubah menjadi bentuk logaritma)
alog b = nc/m (ruas kanan dan kiri dikalikan m/n)
m/n × alog b = c
m/n × alog b = anlog bm

Contoh Soal
Hitunglah nilai logaritma dari
a) 22log 43
b) 24log 32
Jawab
a) 22log 43 = 3/2 × log 4 = 3/2(2) = 3
b) 24log 32 = 24log 32½ = 1/8 × 2log 32 = 1/8 (5) = 5/8

#Sifat 8 (Perluasan Sifat Perpangkatan Logaritma 2)
anlog bn = alog b

Pembuktian sifat 8 logaritma
Dengan menggunakan sifat 7 logaritma, sifat 8 ini sudah terbukti dengan jelas jadi tidak perlu di uraikan pembuktiannya.
Contoh Soal
Jika 2log 3 = a, nyatakan logaritma 8log 27 ke dalam bentuk a
Jawab
8log 27 = 23log 33 = 2log 3 = a

#Sifat 9 (Perluasan dari Bentuk Umum Logaritma)
aalog b = b

Pembuktian sifat 9 logaritma
Misalkan alog b = c maka ac = b, sehingga
aalog b = ac = b
aalog b = b

Contoh Soal
Sederhanakanlah
a) 22log 5
b) 33log 4
c) 55log 10
d) 77log 25
Jawab
a) 22log 5 = 5
b) 33log 4 = 4
c) 55log 10 = 10
d) 77log 25 = 25

#Sifat 10 (Invers Pembagian Logaritma)
alog (b/c) =  alog (c/b)

Pembuktian sifat 10 logaritma
Sifat 10 logaritma dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat 2 logaritma, pembuktiannya adalah sebagai berikut:
alog (b/c) = alog b  alog c
alog (b/c) =  (alog c  alog b)
alog (b/c) =  {alog (c/b)}
alog (b/c) =  alog (c/b)

Contoh Soal
Tentukan nilai logaritma dari
  1. 2log (4/2)
  2. 4log (32/2) 
Jawab
  1. 2log (4/2) = 2log (2/4)  =  2log ½  =  2log 21 =  (1) 2log 2 = 1
  2. 4log (32/2) = 4log (2/32) =  4log (1/16) = 4log 4-2 =  (2) 4log 4 = 2

Komentar

Postingan populer dari blog ini

PEMBAHASAN SOAL VEKTOR NOMOR 30

SIFAT KESIMETRIAN DAN SIFAT SUDUT PADA SEGITIGA, SIFAT SEGI EMPAT DAN LINGKARAN BERSAMA CONTOH SOALNYA

MASALAH KONTEKSUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN VEKTOR