Sudut antar vektor pada bidang berdimensi dua atau tiga

 

Koordinat dalam Ruang

Mungkin sampai saat ini, kita telah memberikan perhatian utama pada sistem koordinat dua dimensi. Akan tetapi dalam mempelajari kalkulus kita akan memerlukan sistem koordinat tiga dimensi.

Sebelum memperluas konsep vektor ke dalam tiga dimensi, kita harus mampu untuk mengidentifikasi titik-titik dalam sistem koordinat tiga dimensi. Kita dapat membangun sistem ini dengan membuat sumbu-z yang memotong tegak lurus sumbu-x dan sumbu-z pada titik asal, seperti yang ditunjukkan Gambar 1. Jika kita memasangkannya, sumbu-sumbu tersebut akan membentuk tiga bidang koordinat: bidang-xy, bidang-xz, dan bidang-yz. Ketiga bidang koordinat ini akan memisahkan ruang menjadi delapan oktan. Oktan pertama berisi titik-titik yang semua koordinatnya positif. Dalam sistem tiga dimensi ini, suatu titik P dalam ruang ditentukan dengan tripel berurutan (x, y, z), dimana x, y, dan z dijelaskan sebagai berikut.

• x = jarak langsung dari bidang-yz ke P
• y = jarak langsung dari bidang-xz ke P
• z = jarak langsung dari bidang-xy ke P

Beberapa titik ditunjukkan dalam Gambar 2 berikut.

Sistem koordinat tiga dimensi dapat berorientasi tangan kanan atau tangan kiri. Untuk menentukan orientasi sistem tersebut, bayangkan kita berdiri pada titik asal, dengan kedua tangan menunjuk ke sumbu-x positif dan sumbu-y positif, dan sumbu-z menunjuk ke atas, seperti yang ditunjukkan Gambar 3. Apakah sistem tersebut berorientasi tangan kanan atau tangan kiri bergantung pada tangan mana yang menunjuk sumbu-x. Pada pembahasan ini, kita akan menggunakan sistem yang berorientasi tangan kanan.

Banyak rumus-rumus yang diperoleh dari koordinat dua dimensi dapat diperluas ke tiga dimensi. Sebagai contoh, untuk menentukan jarak antara dua titik dalam ruang, kita dapat menggunakan Teorema Pythagoras dua kali, seperti yang ditunjukkan Gambar 4. Dengan melakukan ini, kita akan memperoleh rumus jarak antara dua titik (x₁, y₁, z₁) dan (x₂, y₂, z₂).

Contoh 1: Menentukan Jarak Antara Dua titik dalam Ruang

Tentukan jarak antara titik-titik (2, –1, 3) dan (1, 0, –2).

Pembahasan

Suatu bola dengan pusat pada (x₀, y₀, z₀) dan jari-jari r didefinisikan sebagai himpunan semua titik (x, y, z) sedemikian sehingga jarak antara (x, y, z) dan (x₀, y₀, z₀) adalah r. Kita dapat menggunakan Rumus Jarak untuk menentukan persamaan baku bola dengan jari-jari r dan pusat pada (x₀, y₀, z₀). Jika (x, y, z) adalah sebarang titik pada bola, maka persamaan bola tersebut adalah

seperti yang ditunjukkan Gambar 5 berikut.

Lebih lanjut, titik tengah ruas garis yang menghubungkan titik-titik (x₁, y₁, z₁) dan (x₂, y₂, z₂) memiliki koordinat

Contoh 2: Menentukan Persamaan Bola

Tentukan persamaan baku dari suatu bola yang memiliki titik-titik (5, –2, 3) dan (0, 4, –3) sebagai titik-titik ujung diameternya.

Pembahasan Dengan menggunakan Rumus Titik Tengah, pusat bola tersebut adalah

Dengan menggunakan Rumus Jarak, jari-jari bola adalah

Oleh karena itu, persamaan baku bola tersebut adalah

Vektor dalam Ruang

Dalam ruang, vektor dinotasikan dengan tripel berurutan v = <v₁, v₂, v₃>. Vektor nol dinotasikan dengan 0 = <0, 0, 0>. Dengan menggunakan vektor-vektor satuan

notasi vektor satuan baku untuk v adalah

seperti yang ditunjukkan Gambar 6 berikut.

Jika v direpresentasikan dengan ruas garis berarah dari P(p₁, p₂, p₃) ke Q(q₁, q₂, q₃), seperti yang ditunjukkan Gambar 7, maka bentuk komponen v dituliskan dengan mengurangkan koordinat titik ujung dengan koordinat titik pangkal, sebagai berikut.

---

Vektor dalam Ruang

Misalkan u = <u₁, u₂, u₃> dan v = <v₁, v₂, v₃> adalah vektor-vektor dalam ruang dan misalkan c adalah skalar.

1. Kesamaan Vektor: u = v jika dan hanya jika u₁ = v₁, u₂ = v₂, dan u₃ = v₃.
2. Bentuk Komponen: Jika v direpresentasikan dengan ruas garis berarah dari P(p₁, p₂, p₃) ke Q(q₁, q₂, q₃), maka
   
3. Panjang:
   
4. Vektor Satuan dalam Arah v:
   
5. Penjumlahan vektor: v + u = <v₁ + u₁, v₂ + u₂, v₃ + u₃>
6. Perkalian Skalar: cv = <cv₁, cv₂, cv₃>

---

Perlu kita catat bahwa sifat-sifat operasi vektor pada bidang juga berlaku untuk vektor-vektor dalam ruang.

Contoh 3: Menentukan Bentuk Komponen Suatu Vektor dalam Ruang.

Tentukan bentuk komponen dan besar vektor v, yang memiliki titik pangkal (–2, 3, 1) dan titik ujung (0, –4, 4). Kemudian tentukan vektor satuan dalam arah v.

Pembahasan Bentuk komponen dari v adalah

yang memiliki besar

Vektor satuan dalam arah v adalah

Kita ingat kembali definisi perkalian skalar yang menyatakan bahwa perkalian skalar positif terhadap vektor tidak nol v memiliki arah yang sama dengan v, sedangkan perkalian skalar negatif menghasilkan vektor yang berlawanan arah dengan v. Secara umum, dua vektor tidak nol u dan v akan sejajar jika ada skalar c sedemikian sehingga u = cv. Sebagai contoh, pada Gambar 8, vektor u, v, dan w sejajar karena u = 2v dan w = –v.

---

Definisi Vektor-vektor Sejajar

Dua vektor tidak nol u dan v sejajar jika ada skalar c sedemikian sehingga u = cv.

---

Contoh 4: Vektor-vektor Sejajar

Vektor w memiliki titik pangkal (2, –1, 3) dan titik ujung (–4, 7, 5). Manakah dari vektor-vektor berikut yang sejajar dengan w?

1. u = <3, –4, –1>
2. v = <12, –16, 4>

Pembahasan Pertama, kita tulis w dalam bentuk komponen

1. Karena u = <3, –4, –1> = –½<–6, 8, 2> = –½w, kita dapat menyimpulkan bahwa u sejajar dengan w.
2. Dalam kasus ini, kita akan menentukan skalar c sedemikian sehingga
   
   
   
   Untuk menentukan c, kita selesaikan persamaan yang melibatkan komponen-komponen yang bersesuaian.
   
   
   
   Perhatikan bahwa kita menghasilkan c = –2 untuk dua komponen pertama dan c = 2 untuk komponen ketiga. Hal ini berarti bahwa kesamaan <12, –16, 4> = c<–6, 8, 2> tidak memiliki solusi, sehingga kedua vektor tersebut tidak sejajar.

Contoh 5: Menggunakan Vektor untuk Menentukan Titik-titik Kolinear

Tentukan apakah titik-titik P(1, –2, 3), Q(2, 1, 0), dan R(4, 7, –6) kolinear.

Pembahasan Bentuk komponen vektor PQ dan PR adalah

dan

Kedua vektor ini memiliki titik pangkal yang sama. Sehingga, P, Q, dan R terletak pada garis yang sama jika dan hanya jika vektor-vektor PQ dan PR sejajar. Oleh karena itu kita dapat menyimpulkan bahwa ketiga titik tersebut kolinear karena PR = 3PQ, seperti yang ditunjukkan Gambar 9.

Contoh 6: Notasi Vektor Satuan Baku

1. Tulis vektor v = 4i – 5k dalam bentuk komponen.
2. Tentukan titik ujung dari vektor v = 7i – j + 3k, jika diberikan titik pangkalnya P(–2, 3, 5).
3. Tentukan besar vektor v = –6i + 2j – 3k. Kemudian tentukan vektor satuan dalam arah v.

Pembahasan

1. Karena j tidak ada, maka komponennya adalah 0 dan
   
2. Kita perlu untuk menemukan Q(q₁, q₂, q₃) sedemikian sehingga
   
   
   
   Ini mengakibatkan bahwa q₁ – (–2) = 7, q₂ – 3 = –1, dan q₃ – 5 = 3. Solusi ketiga persamaan tersebut adalah q₁ = 5, q₂ = 2, dan q₃ = 8. Sehingga, Q adalah (5, 2, 8).
3. Perhatikan bahwa v₁ = –6, v₂ = 2, dan v₃ = –3. Sehingga, besar v adalah
   
   
   
   
   Vektor satuan dalam arah v adalah

DAFTAR PUSTAKA

https://yos3prens.wordpress.com/2015/08/07/koordinat-ruang-dan-vektor-dalam-ruang/