PENILAIAN TENGAH SEMESTER (PTS) GENAP

1.) Jika vektor a = 1,2,3 b = 5,4, -1 dan C = 4 , -1 , 1 maka hasil dari operasi vektor a + 2 b - 3c adalah 

Pembahasan 

a+ 2b - 3c 

= (1,2,3) + 2 ( 5,4,-1) - 3 ( 4,-1,1) 

= ( 1,2,3) + ( 0,8,-2) - ( 12,-3,3) 

= 1 + 10 - 12 

2+ 8 - (-3)

3 + (-2) -3

= ( -1, 13, -2 ) 

= (-1 13 - 2) 

Jawabannya adalah :  D . ( -1,13,-2) 

2.) Diketahui a = √ 3 , b = 1 dan a -b = 1 . Panjang vektor a + b adalah : 

Pembahasan 

1 = 3 . 2ab + 1 

2 ab = 3+1-1

ab = 3/2

a + b 

a + b² = a² + 2ab + b²

a + b² = √ 3² + 2. ( 3/2) + 1²

a + b² = 3+3+1

a + b² = 7

a + b² = √ 7 

Jadi nilai dari a+b = √ 7

Jadi jawabannya adalah : C. √ 7

3.) Diketahui a= 2i - 3 j + 4k dan b = 5j + 5k nilai a.b adalah 

Pembahasan

a.b = 18 

2.3 + 4 ( n 2 4 )

2n + 5 (5) + 3 + 4

2n 

a.b = -11

Jadi jawabannya adalah: A . -11

4.)   Diketahui a + b = 2 √ 19 jika a = 4 dan b = 6 maka a-b adalah 

Pembahasan

a + b = 2 √ 19 

a + b² = ( 2√ 19 )²

a² + 2ab + b² = 4 ( 19 ) 

4² + 2ab + 6² = 76 

16 + 2ab + 36 = 76 

2ab = 24 

a - b² = a² - 2ab + b² 

a - b² = 4² - 24 + 6² 

a - b² = 28 

a - b = √ 28 

= 2 √ 7 

Jadi jawabnnya adalah : A. 2 √7 

5.)   Diketahui vektor a = 2i - 3j + k dan b Pi + 2j - k dan C = i - j + 3k jika b tegak lurus terhadap vektor c vektor a-b -c adalah 

Pembahasan

B tegak lurus c 

b.c = 0 

( P,2 ,-1) .( 1,-1,3) = 0

P -2 -3 = 0

P-5 =0

P = 5 

Jadi b = 5i + 2j - k 

Vektor a - b - c 

( 2,-3,1) - ( 5,2,-1) - ( 1,-1,3) 

( 2-5-1, - 3-2-1(-1), 1-(-1)-3) 

( -3-1,-5+1,2-3) 

( -4, -4, -1) 

= -4i - 4j - k 

Jadi Jawabannya adalah = C. -4i - 4j - k 

6.)    Jika sudut antar vektor a = i + √2 j + pk dan vektor b = i - √2 j + pk adalah 60⁰ maka p adalah 

Pembahasan

a.b = a b cos 60

P² -1 = √ ( p² + 3 ) √ ( p² + 3 ) ( 1/2)

2p² - 2 = p² + 3

P² = 5

P² -5 = 0

( P+ √ 5) ( p -√ 5) = 0

P = √5

P= - √ 5 

Jadi jawabannya adalah: D. - √ 5 atau √ 5 

7.)     Titik A ( 3,2,-1) B ( 1,-2,1) dan C ( 7, p-1, -5) segaris untuk nilai p adalah 

Pembahasan

Panjang AB = B - A 

( 1,-2,1) - ( 3,2,-1) 

(2,-4,2) 

Panjang BC = C- B 

( 7,( p -1 ) -5 ) - (1,-2,1) 

(6,(p+1), -6) 

Maka 

-4* x = ( p + 1 ) 

-4* -3 = p + 1

12 = p + 1

P = 12 -1 

P = 11 

Jadi Jawabnnya adalah : D . 11

8.).   Diketahui titik A (3,1,-4) B ( 3,-4,6) 

Dan C ( -1,5,4) titik P membagi AB sehingga AP : PB = 3:2 maka vektor yang di wakili oleh PC adalah 

Pembahasan 

Diketahui 

* A ( 3,1-4) 

* B ( 3,-3,6) 

* C (-1,5,4) 

*Ap : PB = 3:2

Jawab 

AP : BP = 3:2 ,MAKA 

P = 3B + 2A / 3+2 

P = 3(3,-4,6)+ 2 (3,1,-4) / 5

P= ( 9 ,-12, 18 ) + (6,2-8) / 5 

P = ( 15,  -10 ,10) / 5 

P = ( 3, -2 , 2 ) 

Jadi vektor PC 

C - P 

= ( -1,5,4) - ( 3, -2, 2 ) 

= - 4, 7 , 2 

= 4i + 7j + 2k 

= ( -4, 7, 2 ) 

Jadi jawabannya adalah: E. ( -4, 7, 2 ) 

9.).    Panjang proyeksi orthogonal vektor a = 

( -2,8,4) pada B = 0,p,4 adalah 8 nilai p yang tepat adalah 

Pembahasan

a.b / b = 8

8p + 16 / √ p² + 16 = 8 

Pindah ruas 

8p + 16 = 8√ p² + 16 

Kuadrat ke dua ruas

( 8p + 16)² = ( 8 √ p² + 16)²

64p² + 256p + 256 = 64p² + 1.024 

256p = 1.024 - 256 

256p = 768

P = 768 : 256

P = 3 

Jadi jawabnnya adalah : C. 3 

10.) Diberikan vektor a = ( p,2-1) b = ( 4-3,6) 

Dan C = ( 2,-1,3) jika vektor a tegak lurus

 vektor b, maka hasil dari ( a-b ) . ( 2c)adalah

Pembahasan

a.b = 0 

( P,2,-1) . ( 4,-3,6) = 0

P (4) + 2 (-3) + (-1) ( 6) = 0

4p -6 -6 = 0

4p = 12

P = 3 

a -2b 

= ( P,2,-1) - 2 ( 4 ,-3,6) 

= (3,2,-1) - ( 8,-6,12) 

= (-5,8 -13) 

3C = 3(2,-1,3) = ( 6, -3, 9 ) 

( a -2b ) .3c 

= ( -5 ,8, -13 ) . ( 6,-3,9)

= -5 (6) + 8 (-3) + ( -13 ) ( 9 ) 

= - 30 - 24 - 117 

= - 171

Jadi Jawabnnya adalah : E. - 171 

11.).    Diketahui titik A ( 1,2,3) B ( 3,3,1) dan 

C ( 7,5,-3) jika titik A,B dan C segaris

( Kolinear ) maka perbandingan AB : BC adalah 

Pembahasan

Jarak AB 

= √ ( 3-1)² + (3-2)² + ( 1-3)² 

= √ ( 2² + 1² + (-2)²

= ²√(4 + 1 + 4 ) 

= √ 9

= 3 

Jarak BC 

= √ ( 7 -3 )² + (5 -3 )² + (-3-1)²

= √ (4² + 2² + (-4)²

= √ (16 + 4 + 16 )

= √ 36 

= 6  

 Jika titik titik A,B,C segaris ( kolinear) 

Maka perbandingannya : 

= AB : BC = 1 : 2 

Jadi Jawabannya adalah :  A. 1 : 2 

12.)  Jika vektor tak nol a dan b memenuhi

a + b = a - b maka vektor a dan b saling =

Jawabannya adalaH

A. Membentuk sudut 90⁰

13.).  Diketahui titik A ( 2,7,8) B (-1,1,-1) dan 

C ( 0,3,2) jika U mewakili AB dan V mewakili 

BC maka proyeksi orthogonal vektor U pada 

V adalah 

Pembahasan

U = AB 

= (-1,1,-1)  - ( 2,7,8) = ( -3, -6, -9 )

V = BC 

= ( 0, 3,2)  - ( -1,1,-1) = ( 1, 2 ,3 ) 

U.V / ( v √ 2 ) .V 

C = ( -3,-6,-9) . ( 1,2,3) / ( √ 1² + 2²  + 3² ) ²

= ( 1,2,3) = -3 -12 -27 / 14 . ( 1,2,3)

= -3 ( 1,2,3) = ( -3 , -6, -9 ) 

= -3i - 6j - 9k 

Jadi jawabannya adalah : A. -3i - 6j - 9k

14.).   Jika diketahui vektor a = 2i - 3j + 6k 

Dan vektor b = i + pj - k saling tegak lurus maka nilai p adalah 

Pembahasan

a.b = 0 

( 2, -3,6) . ( 1,p,-1) = 0

2 + ( -3p) + ( -6) = 0

-3p -4 = 0

P = -4/3

Jadi jawabnnya adalah : B . - 4/3

15.).   Diketahui vektor a = 5i + j + 7 k dan 

B : 3i -+2k proyeksi orthogonal vektor a pada b adalah 

Pembahasan

a.b.b/b² = 5.3 +1 .(-1) + 7 .2 / √ 3² + (-1) + 2²)².b

= 15 + (-1) + 14 / √ 9 + 1 + 4) ².b 

= 28 / (√ 14 )² .b 

= 28 / 14 .2 .b 

= 2.( 3i-j+2k ) 

= 6i - 2j + 4k 

Jadi jawabannya adalah : B. 6i - 2j +4k

16.) Diketahui a = (3,-2,1) dan B = ( 2,y,2)

Jika z adalah projeksi a terhadap dan z = 1/2 b maka nilai y yang memenuhi adalah 

Pembahasan

(Z) = 1/2 b 

(Z) = 1/2 √(2)²+(y) + (2)²

(Z) = 1/2 √y²+ 8

a.b = (3,-2,1) x (2,y,2) = (6-2y+2) =8-2y

Proyeksi a dan b 

Z = a.b/ b 

1/2√y² + 8 = (8-2y) / √ y² + 8 

1/2 (√ y² + 8 ) ( √y²+8) = 8 -2y

Y² + 8 = 2 (8-2y) 

Y² + 8 = 16 - 4y 

Y² + 4y - 8 = 0 

Y = ( -4 + 2 √ 10 ) atau -2 

Jadi jawabannya adalah : B. -2 

17.).  Misal vektor U = 9i + bj + ak dan V = ai

+ ah - BK sudut antara vektor U dan V adalah 

0 dengan cos 0 = 6/65√15 proyeksi vektor U pada v adalah p = 4i+4j -2k nilai a adalah 

Pembahasan

Jawab 

2/11= 3(2b) / √ (2b)² + b² + 81) √ 2(2b)² + b² ) 

1/11 = 3b / ( 5b² + 81) ( √ 9b²)

1/11= 3b / ( 5b² + 81 ) ( 3b) 

1/11 = 1 / √ 5b² + 81 

Kuadrat ke dua ruas untuk menghilangkan akar kuadrat 

1/121 = 1/ 5b² + 81 

Kalikan silang 

5b² + 81 = 121

5b² - 40 = 0

Dibagi 5 

b² - 8 = 0 

Faktorkan 

(b - √8) ( b + √8) = 0

Untuk b = √ 8 diperoleh b = 2√2 

Untuk b = -√ 8 diperoleh b = -2√2

Jadi Jawabnnya adalah : C. 2 √2

18.)    Jika a = (x+1) i + x j ,b = 2xi + ( 3x+1) j 

dan p adalah proyeksi vektor b ke a maka p ≤ 2 a untuk 

Pembahasan

Jawab 

X + 1 ≥ 0 atau X - 2 ≤ 0

X ≥ -1 atau X ≤ 2 

( -1 ≤ X ≤ 2 ) 

Maka p ≤ 2 a untuk ( -1 ≤  x ≤ 2 ) 

Jadi jawabannya adalah : C. -1 ≤ x ≤ 2

19.).   Vektor U = 2i + j + 2k dan vektor v = 4i +

 2j  + 4k  adalah vektor searah 

Nilai u:v =  18 

Jawabannya adalah

Pernyataan benar alasannya salah 

Maka u.v = -4 

2a - 6 -8 = -4 

2a = -4 +6+8 

2a = 10 

a : 5 

20.).    Segitiga ABC dengan koordinat titik 

sudut A ( 4,7,0) B ( 6,10,-6) dan C ( 1,9,0) 

Merupakan segitiga siku siku 

Pembahasan

Jawab 

PERNYATAANNYA BENAR, ALASANNYA BENAR, TETAPI TIDAK MEMPUNYAI SEBAB AKIBAT