Pertumbuhan, Bunga Tunggal, Bunga Majemuk, Bunga Anuitas, Peluruh dengan Eksponen

Halo guyss, balik lagi sama saya Noufal Rayhan R. di blog pertemuan ke-6 kaliini. Simak Baik-baik yaa!!

----------------------------------------------------------------------

~ Pengertian  ~
Baris aritmatika merupakan baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b. Sedangkan, deret aritmatika merupakan penjumlahan suku-suku dari suatu barisan aritmatika.

Baris geometri merupakan baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui perkalian dengan suatu bilangan r. Sedangkan, deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan geometri.

Bunga (suku bunga) atau bank interest adalah pertambahan jumlah modal yang diberikan oleh bank untuk para nasabahnya dengan dihitung dari presentase modal uang nasabah dan lamanya menabung. Bunga juga bisa diberikan oleh pemberi pinjaman kepada pinjaman. Bunga ada dua jenis yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. Berikut ini perbedaannya :

~ Bunga Tunggal ~
Bunga tunggal adalah bunga yang diberikan berdasarkan perhitungan modal awal, sehingga bunga hanya memiliki satu variasi saja (tetap) dari awal periode sampai akhir periode. Contohnya saat menabung di bank, kita akan mendapatkan bunga yang tetap tiap-tiap periode.

Modal adalah jumlah dari yang dibungakan, modal awal merupakan modal yang dikeluarkan pada awal waktu usaha dan sebelum dibungakan. Modal akhir adalah hasil dari modal yang dibungakan.Sedangkan suku bunga dinyatakan dalam persentase tiap satuan waktu.

Jika modal awal sebesar Mo mendapat bunga tunggal sebesar b (dalam persentase) per bulan, maka setelah n bulan besar modalnya Mn menjadi:

Mn = Mo (1+n.b)

Contoh soal bunga tunggal:
Diketahui modal pinjaman Rp1.000.000 dengan bunga sebesar 2% per bulan, maka setelah 5 bulan modalnya adalah ….

Mn = 1.000.000 (1 + 5 × 2/100 )= Rp.1.100.000

Jika modal awal sebesar Mo, dan diketahui jumlah bunga tunggalnya B, maka besar persentase bunga tunggalnya b adalah

b = b/Mo × 100%

Contoh lain:
Diketahui bunga tunggal sebesar Rp50.000 untuk modal pinjaman Rp1.000.000, maka presentasenya adalah

b = 50.000/1.000.000 × 100% = 5%

~ Bunga Majemuk ~
Bunga majemuk adalah bunga yang diberikan berdasarkan modal awal dan akumulasi bunga pada periode sebelumnya.Bunga majemuk memiliki banyak variasi dan selalu berubah (tidak tetap) pada tiap-tiap periode. Contohnya saat menjual sebuah kendaraan, harga kendaraan yang dijualakan berubah setiap periode dan perubahannya bervariasi.

Jika modal awal sebesar Mo mendapat bunga majemuk sebesar b (dalam persentase) perbulan, maka setelah n bulan besar modalnya Mn menjadi:

Mn = Mo (1+b)^n
Contoh, diketahui modal pinjaman Rp1.000.000 dengan bunga majemuk sebesar 2% per bulan, maka setelah 5 bulan modalnya adalah

Mn = 1.000.000 (1+0.02)^5 = 1.104.080,80
Jika modal awal sebesar Mo disimpan di bank mendapatkan bunga sebesar b pertahun dan perhitungan bunga dihitung sebanyak m kali dalam setahun, maka besar modal pada akhir tahun ke-n adalah :

Mn = Mo (1+ b/m)^mn
Contoh,
M0 = 1.000.000,
m = 12 kali,
n = 2 tahun
b = 6%
maka,
Mn = 1.000.000 (0,06/12) = 1.127.159,78

~ Penyusutan ~
Penyusutan atau depresiasi adalah pengurangan nilai dari harta tetap terhadap nilai buku atau nilai beli awalnya. Penyusutan dilakukan secara berkala dalam rangka pembebanan biaya pada pendapatan, baik atas penggunaan harta tersebut maupun karena sudah tidak memadai lagi.

Ada dua istilah dalam penyusutan yaitu, nilai buku dan nilai beli. Nilai beli merupakan harga awal ketika melakukan pembelian barang. Sedangkan nilai buku adalah nilai setelah terjadi penyusutan dimana nilainya tiap periode akan semakin kecil.

Jika harga sebuah barang pada saat dibeli adalah Mo dan mengalami penyusutan tiap tahunnya sebesar p (dalam persen) dari harga belinya, maka nilai barang pada akhir tahun ke-n adalah :

Mn = Mo (1 - np)

Contoh, harga mobil Rp100.000.000 menyusut harganya 10% tiap tahun. Di akhir tahun ke-5 nilainya

Mn = 100.000.000 (1 - 5 × 0.1) = 50.000.000
Besar nilai (harga) penyusutan tiap tahun adalah :

P = Mo . p
P = 100.000.000 × 0.1 = 10.000.000
Jika suatu barang mengalami penyusutan tiap tahunnya sebesar p (dalam persen) dari nilai bukunya sendiri, maka pada akhir tahun ke-n, nilai barangnya adalah :

Mn = Mo (1 - p)^n
Besar nilai (harga) penyusutan pada tahun ke-n adalah

Pn = Mn-1 (p)(1 - p)^(n-1)

Contoh, harga mobil Rp100.000.000 menyusut nilai bukunya 10% tiap tahun. Di akhir tahun ke-5 nilainya

M5 = 100.000.000 (1 - 0.1)^5 = 59.049.000
Pn = 65.610.000 (0.1) (1 - 0.1)^(5-1) = 4.304.672

Pertumbuhan
Pertumbuhan merupakan kenaikan jumlah pada tiap periode waktu berdasarkan suatu rasio pertumbuhan. Jika jumlah awal adalah Jo dan rasio adalah r per tahun, maka pada akhir tahun ke-n, jumlah akhirnya menjadi Jn:

Jn = Jo (1+r)^n
Contoh, jumlah penduduk 10.000 jiwa dengan pertumbuhan penduduk 5% per tahun, maka pada akhir tahun ke-4, jumlahnya

Jn = 10.000 (1+0.05)^4 = 12.155 jiwa

Anuitas
Anuitas adalah rangkaian pembayaran atau penerimaan yang sama jumlahnya dan harus dibayarkan atau yang harus diterima pada tiap akhir periode atas sebuah pinjaman atau kredit. Jika suatu pinjaman akan dikembalikan secara anuitas, maka ada tiga komponen yang menjadi dasar perhitungan yaitu:
- Besar pinjaman
- Besar bunga
- Jangka waktu dan jumlah periode
- Pembayaran

Anuitas yang diberikan secara tetap pada setiap akhir periode mempunyai dua fungsi yaitu membayar bunga atas hutang dan mengangsur hutang itu sendiri. Sehingga konsepnya :

Anuitas = Bunga atas hutang + Angsuran hutang

Jika utang sebesar Mo mendapat bunga sebesar b per bulan dan anuitas sebesar A, maka dapat ditentukan :

Besar bunga pada akhir periode ke-n
Bn = (1+b)^n-1 (b . M - A) + A

Besar angsuran pada akhir periode ke-n
An = (1+b)^n-1 (A - bM)

Sisa hutang pada akhir periode ke-n
Mn = (1+b)^n (M - a/b) + a/b
(contoh di soal 2)

Besar anuitas untuk membayar hutang sebesar M0 dengan bunga sebesar b perbulan selama n bulan adalah
A = b (Mo) (1+b)^n / (1+b)^n-1

-----------------------------------------------------------------------

Sekian dari saya kali ini, jangan lupa komen. Terimakasih